Question

17．已知函数f（x）=e^x，g（x）=mx+n．
（1）设h（x）=f（x）-g（x）．当n=0时，若函数h（x）在（-1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；
（2）设函数r（x）=$\frac{1}{f（x）}$+$\frac{nx}{g（x）}$，且n=4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，t通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，得到函数的最小值，从而求出m的范围；
（2）求出r（x）的表达式，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性即可．

解答 解：（1）当n=0，可得h'（x）=（e^x-mx）'=e^x-m，
∵x＞-1，∴${e^x}＞\frac{1}{e}$，
①当$m≤\frac{1}{e}$时，h'（x）=e^x-m＞0，函数h（x）在（-1，+∞）上单调递增，而h（0）=1，
所以只需$h（-1）=\frac{1}{e}+m≥0$，解得$m≥-\frac{1}{e}$，从而$-\frac{1}{e}≤m≤\frac{1}{e}$．
②当$m＞\frac{1}{e}$时，由h'（x）=e^x-m=0，解得x=lnm∈（1，+∞），
当x∈（-1，lnm）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；
当x∈（lnm，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增．
所以函数h（x）在（-1，+∞）上有最小值h（lnm）=m-mlnm，令m-mlnm＞0，解得m＜e，所以$\frac{1}{e}＜m＜e$．
综上所述，$m∈[-\frac{1}{e}，e）$．
（2）由题意，$r（x）=\frac{1}{f（x）}+\frac{nx}{g（x）}=\frac{1}{e^x}+\frac{{\frac{n}{m}x}}{{x+\frac{n}{m}}}=\frac{1}{e^x}+\frac{4x}{x+4}$，
而$r（x）=\frac{1}{e^x}+\frac{4x}{x+4}≥1$等价于e^x（3x-4）+x+4≥0，
令F（x）=e^x（3x-4）+x+4，
则F（0）=0，且F'（x）=e^x（3x-1）+1，F'（0）=0，
令G（x）=F'（x），则G'（x）=e^x（3x+2），
∵x≥0，∴G'（x）＞0，
所以导函数F'（x）在[0，+∞）上单调递增，于是F'（x）≥F'（0）=0，
从而函数F（x）在[0，+∞）上单调递增，即F（x）≥F（0）=0，
∴e^x（3x-4）+x+4≥0，
即r（x）≥1．

点评 本题主要考查导数的几何意义的应用，以及利用导数研究函数单调性，在判断函数的单调性的过程中，多次使用了导数来判断函数的单调性是解决本题的关键，难度较大．