Question

3．已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，且f（-6）=-2，当x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂时，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞0．则给出下列命题：
①f（2016）=-2；  
②x=-6为函数y=f（x）图象的一条对称轴；
③函数y=f（x）在（-9，-6）上为减函数； 
④方程f（x）=0在[-9，9]上有4个根；
其中正确的命题个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 依题意，可知偶函数y=f（x）是以6为周期的周期函数，从而可判断①②的正误；当x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂时，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞0⇒函数y=f（x）在[0，3]上是增函数⇒函数y=f（x）在[-3，0]上是减函数，结合周期性，可判断③的正误；再由其单调性及周期性可判断④的正误．

解答 解：对于①，令x=-3，由f（x+6）=f（x）+f（3）得f（-3）=0，
又函数y=f（x）是R上的偶函数，所以f（3）=f（-3）=0．
f（x+6）=f（x），即函数y=f（x）是以6为周期的周期函数，
所以f（2016）=f（336×6）=f（0）；
又f（-6）=-2，所以f（0）=-2，
从而f（2016）=-2，即①正确；
对于②，函数关于y轴对称．周期为6，所以函数y=f（x）图象的一条对称轴为x=-6，故②正确；
对于③，当x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂时，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$，
设x₁＜x₂，则f（x₁）＜f（x₂），故函数y=f（x）在[0，3]上是增函数，
根据对称性，易知函数y=f（x）在[-3，0]上是减函数，故③正确；
对于④，根据周期性，函数y=f（x）在（-9，-6）上为减函数；
因为f（3）=f（-3）=0，又由其单调性及周期性，
可知在[-9，9]，有且仅有f（3）=f（-3）=f（9）=f（-9）=0，
即方程f（x）=0在[9，9]上有4个根，故④正确；
综上所述，四个命题都正确．
故选：D．

点评 本题考查函数的性质及其应用，考查根的存在及个数判断，考查转化思想与推理运算能力，属于难题．