Question

2．下列命题中：
①α=2kx+$\frac{π}{3}$（k∈Z）是tanα=$\sqrt{3}$的充分不必要条件； 
②已知命题P：?x∈R，lgx=0；
命题Q：?x∈R，2^x＞0，则P∧Q为真命题； 
③若|$\overrightarrow{a}$|=2|$\overrightarrow{b}$|≠0，函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|x²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$x在R上有极值，则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角范围为[$\frac{π}{3}$，π]； 
④在△ABC中，若cos（2B+C）+2sinAsinB＜0，则△ABC为钝角三角形；
 ⑤在△ABC中，若（a²+c²-b²）tanB=$\sqrt{3}$ac，则B=60°．
其中正确命题的序号为①②④．

Answer 1

分析 ①α在第三象限是，tanα=$\sqrt{3}$； 
②x=1时，lgx=0，：?x∈R，2^x＞0，则P∧Q为真命题； 
③函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|x²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$x在R上有极值，则f′（x）=0的△＞0，向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角范围为（$\frac{π}{3}$，π）；
④若cos（2B+C）+2sinAsinB＜0⇒cos[（B+C）+B]+2sinAsinB=-cos（A+B）＜0⇒cosC＜0，则△ABC为钝角三角形；
 ⑤在△ABC中，若（a²+c²-b²）tanB=$\sqrt{3}$ac，则sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$⇒B=60°或120⁰．

解答 解：对于①，α在第三象限是，tanα=$\sqrt{3}$，故正确； 
对于②，x=1时，lgx=0，：?x∈R，2^x＞0，则P∧Q为真命题，故正确； 
对于③，函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|x²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$x在R上有极值，则f′（x）=0的△＞0，向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角范围为（$\frac{π}{3}$，π），故错误；
对于④，若cos（2B+C）+2sinAsinB＜0⇒cos[（B+C）+B]+2sinAsinB=-cos（A+B）＜0⇒cosC＜0，则△ABC为钝角三角形，故正确；
对于 ⑤，在△ABC中，若（a²+c²-b²）tanB=$\sqrt{3}$ac，则sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$⇒B=60°或120⁰，故错误．
故答案为：①②④

点评 本题考查了命题真假判定，需要掌握大量的基础知识，属于中档题．