Question

某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P=

x+2

4

（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本6（P+

1

P

）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+

20

p

）元/件．
（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）根据产品的利润=销售额-产品的成本建立函数关系；
（2）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知，y=（4+

20

p

）p-x-6（p+

1

p

），
将p=

x+2

4

代入化简得：y=19-

24

x+2

-

3

2

x（0≤x≤a）；
（Ⅱ）y=22-

3

2

（

16

x+2

+x+2）≤22-3

16 x+2 ×(x+2)

=10，
当且仅当

16

x+2

=x+2，即x=2时，上式取等号；
当a≥2时，促销费用投入2万元时，该公司的利润最大；
y=19-

24

x+2

-

3

2

x，y′=

24

(x+2)2

-

3

2

，
∴a＜2时，函数在[0，a]上单调递增，
∴x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，该公司的利润最大．

点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．