Question

已知整数n≥3，集合M={1，2，3，…，n}的所有含有3个元素的子集记为A₁，A₂，A₃，…，A 

C

3 n

，设A₁，A₂，A₃，…，A 

C

3 n

中所有元素之和为S_n．
（Ⅰ）求S₃，S₄，S₅，并求出S_n；
（Ⅱ）证明：S₃+S₄+S…+S_n=6C_n+2⁵．

Answer 1

考点：组合及组合数公式,子集与真子集

专题：计算题,集合,二项式定理

分析：（Ⅰ）当=3时，集合M中只有一个符合条件的子集，故S₃=1+2+3=6，仿照求当n=4时，当n=5时，当集合M有n个元素时，每个元素出现

C

2 n-1

次，从而求得S_n=

C

2 n-1

n(n+1)

2

；
（Ⅱ）化简S_n=

C

2 n-1

n(n+1)

2

=6

C

4 n+1

，从而得到S₃+S₄+S…+S_n=6（

C

4 4

+

C

4 5

+…+

C

4 n+1

）=6C_n+2⁵．

解答： 解：（Ⅰ）当=3时，集合M中只有一个符合条件的子集，
故S₃=1+2+3=6，
当n=4时，集合M每个元素出现了

C

1 3

=3次，
故S₄=3（1+2+3+4）=30，
当n=5时，集合M每个元素出现了

C

2 4

=6次，
故S₅=6（1+2+3+4+5）=90；
当集合M有n个元素时，每个元素出现

C

2 n-1

次，
故S_n=

C

2 n-1

n(n+1)

2

；
（Ⅱ）证明：∵S_n=

C

2 n-1

n(n+1)

2

=6

C

4 n+1

，
∴S₃+S₄+S…+S_n=6（

C

4 4

+

C

4 5

+…+

C

4 n+1

）=6C_n+2⁵．

点评：本题考查了集合的子集的定义及排列组合的应用，属于基础题．