Question

10．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，点F是椭圆的左焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的上顶点，且S_△ABF=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若直线l：x-2y-1=0交椭圆E于P，Q两点，求△FPQ的周长和面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由S_△ABF=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，可得$\frac{1}{2}（a+c）b$=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，化为（a+c）b=$\sqrt{2}$+1，又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（Ⅱ）直线x-2y-1=0与x轴交于（1，0）恰为椭圆E的右焦点F′，则△FPQ的周长为=4a．设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．直线方程与椭圆方程联立得，6y²+4y-1=0．可得|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$．于是△FPQ的面积为$\frac{1}{2}|F{F}^{′}|$×|y₁-y₂．

解答 解：（Ⅰ）F（-c，0），A（a，0），B（0，b），
由S_△ABF=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，可得$\frac{1}{2}（a+c）b$=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，化为（a+c）b=$\sqrt{2}$+1，又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，
联立解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1．
故椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1． …（6分）
（Ⅱ）直线x-2y-1=0与x轴交于（1，0）恰为椭圆E的右焦点F′，
则△FPQ的周长为=|FQ|+|QF′|+|FP|+|PF′|=4a=4$\sqrt{2}$．…（9分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．|
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y-1=0}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得，6y²+4y-1=0．
∴y₁+y₂=-$\frac{2}{3}$，y₁•y₂=-$\frac{1}{6}$，
|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{2}{3}）^{2}-4×（-\frac{1}{6}）}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$．
于是△FPQ的面积为$\frac{1}{2}|F{F}^{′}|$×|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{10}}{3}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形面积与周长计算公式、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．