Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）中，A₁，A₂是左、右顶点，F是右焦点，B是虚轴的上端点．若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点P_i（i=1，2），使得△P_iA₁A₂（i=1，2）构成以A₁A₂为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出直线BF的方程为bx+cy-bc=0，利用直线与圆的位置关系，结合a＜b，即可求出双曲线离心率e的取值范围．

解答： 解：由题意，F（c，0），B（0，b），则直线BF的方程为bx+cy-bc=0，
∵在线段BF上（不含端点）存在不同的两点P_i（i=1，2），使得△P_iA₁A₂（i=1，2）构成以线段A₁A₂为斜边的直角三角形，
∴

bc

b2+c2

＜a，
∴e⁴-3e²+1＜0，
∵e＞1，
∴e＜

5 +1

2

∵a＜b，
∴a²＜c²-a²，
∴e＞

2

，
∴

2

＜e＜

5 +1

2

．
故答案为：

2

＜e＜

5 +1

2

．

点评：本题考查双曲线的简单性质，考查离心率，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．