题目内容
设函数f（x）=x-x2+3lnx，求证：当x＞0时f（x）≤2x-2．
考点：利用导数研究函数的单调性
专题：导数的概念及应用
分析：设g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x2+3lnx，得g′（x）=-
，从而g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，因此g（x）max=g（1）=0，进而证得f（x）≤2x-2．
| (x-1)(2x+3) |
| x |
解答：
证明：f（x）的定义域为（0，+∞），
设g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x2+3lnx，
∴g′（x）=-
，
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令g′（x）＜0，解得：x＞1，
∴g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴g（x）max=g（1）=0，
∴x＞0时，g（x）≤0，
∴f（x）≤2x-2．
设g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x2+3lnx，
∴g′（x）=-
| (x-1)(2x+3) |
| x |
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令g′（x）＜0，解得：x＞1，
∴g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴g（x）max=g（1）=0，
∴x＞0时，g（x）≤0，
∴f（x）≤2x-2．
点评：本题考查了函数的单调性，导数的应用，不等式的证明，是一道基础题．
练习册系列答案
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