Question

如图，在四棱锥中，平面平面，且， ．四边形满足，，．点分别为侧棱上的点，且．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）当时，求异面直线与所成角的余弦值；

（Ⅲ）是否存在实数，使得平面平面？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

证明：（Ⅰ）由已知，，

所以 ．

因为，所以．

而平面，平面，

所以平面．         

（Ⅱ）因为平面平面，

平面平面，且，

所以平面.

所以，．

又因为，

所以两两垂直．      …

如图所示，建立空间直角坐标系，

因为，，

所以

．

当时，为中点，

所以,

所以．

设异面直线与所成的角为，

所以，

所以异面直线与所成角的余弦值为．

（Ⅲ）设，则．

     由已知，所以，

    所以    所以．

设平面的一个法向量为，因为,

所以    即

     令，得．

设平面的一个法向量为，因为,

所以    即

    令，则．

若平面平面，则，所以，解得．

所以当时，平面平面．…