Question

已知等差数列{a_n}，公差d＜0，设b_n=（

1

2

） an，又已知b₁+b₂+b₃=

21

8

，b₁•b₂•b₃=

1

8

．
（1）求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求等差数列{a_n}的通项a_n．

Answer 1

考点：等差数列的通项公式,等比关系的确定

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）设{a_n}的公差为d．由已知条件得

bn+1

bn

=(

1

2

)an+1-an=(

1

2

)d为常数，从而可得数列{b_n}是等比数列；
（2）由b₁+b₂+b₃=

21

8

，b₁•b₂•b₃=

1

8

，可得b₁+b₃=

17

8

，b₁•b₃=

1

4

利用，{b_n}公比为q=(

1

2

)d∈（0，1），可得b_n=（

1

2

）^2n-3，从而得到a_n=2n-3，n∈N^*．

解答： （1）证明：设{a_n}的公差为d，则

bn+1

bn

=(

1

2

)an+1-an=(

1

2

)d为常数，
∴{b_n}为以(

1

2

)a1为首项，公比为(

1

2

)d的等比数列．
（2）解：∵b₁•b₂•b₃=

1

8

，∴b₂=

1

2

，
∵b₁+b₂+b₃=

21

8

，b₁•b₂•b₃=

1

8

，
∴b₁+b₃=

17

8

，b₁•b₃=

1

4

，
由{b_n}公比为q=(

1

2

)d∈（0，1），
∴b₁＞b₃，∴b₁，=2，b₃=

1

8

，
∴b_n=（

1

2

）^2n-3，
∴a_n=2n-3，n∈N^*．

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，主要考查等差数列与等比数列的通项及性质，关键是正确运用等比数列的定义，利用等比数列的通项公式．