题目内容
已知P为双曲线C：
-
=1上的点，点M满足|
|=1，且
•
=0，则当|
|取得最小值时的点P到双曲线C的渐近线的距离为 ．
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 16 |
| OM |
| OM |
| PM |
| PM |
考点：双曲线的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：依题意可求得点P的坐标为P（3，0），利用点到直线间的距离公式即可求得点P到双曲线C的渐近线的距离．
解答：
解：∵|
|=1，∴点M的轨迹是以原点为圆心，1为半径的单位圆；
不妨设P为双曲线右支上的任一点，∵
•
=0，∴OM⊥PM，
∴△OPM为直角三角形，且∠OMP=90°，|OP|为该直角三角形的斜边长；
∵P为双曲线C：
-
=1上的点，
在Rt三角形OPM中，要使直角边|
|最小，由于|
|=1，故只需|OP|最小，
∵当点P为双曲线C的右支与x轴的交点时，|OP|最小，此时P（3，0）．
∵双曲线C：
-
=1的一条渐近线方程为y=
x，
∴点P到渐近线4x-3y=0的距离d=
=
．
故答案为：
．
| OM |
不妨设P为双曲线右支上的任一点，∵
| OM |
| PM |
∴△OPM为直角三角形，且∠OMP=90°，|OP|为该直角三角形的斜边长；
∵P为双曲线C：
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 16 |
在Rt三角形OPM中，要使直角边|
| PM |
| OM |
∵当点P为双曲线C的右支与x轴的交点时，|OP|最小，此时P（3，0）．
∵双曲线C：
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 16 |
| 4 |
| 3 |
∴点P到渐近线4x-3y=0的距离d=
| |4×3-3×0| | ||
|
| 12 |
| 5 |
故答案为：
| 12 |
| 5 |
点评：本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查转化思想与逻辑思维能力，求得点P的坐标为（3，0）是关键．
练习册系列答案
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已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示．若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为函数f（x）=（
）x-4的零点为（ ）
| 1 |
| 2 |
| A、-2 | B、-1 | C、0 | D、2 |
若f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x-1）f′（x）≥0，则必有（ ）
| A、f（0）+f（2）＜2f（1） |
| B、f（0）+f（2）＞2f（1） |
| C、f（0）+f（2）≤2f（1） |
| D、f（0）+f（2）≥2f（1） |