Question

5．若直线y=k（x-2）+4与曲线y=$\sqrt{4-{x^2}}$有两个交点，则k的取值范围是（　　）

• A． [1，+∞）
• B． $[{-1，-\frac{3}{4}}）$
• C． $（{\frac{3}{4}，1}]$
• D． （-∞，-1]

Answer 1

分析 由直线方程的特点得到此直线恒过A（2，4），由曲线方程的特点得到曲线为一个半圆，在平面直角坐标系中画出相应的图形，根据直线与半圆有2个交点，取两个特殊情况：当直线与半圆相切，且切点在第二象限时，可得出圆心到直线的距离等于圆的半径，即d=r，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到此时k的值；当直线过点C时，将C的坐标代入直线方程，得到关于k的方程，求出方程的解得到此时k的值，由图象可得出满足题意k的取值范围．

解答 解：直线y=k（x-2）+4，
当x=2时，y=4，可得此直线恒过A（2，4），
曲线y=$\sqrt{4-{x^2}}$为圆心在坐标原点，半径为2的半圆，
根据题意作出相应的图形，如图所示：

当直线y=k（x-2）+4与半圆相切（切点在第二象限）时，圆心到直线的距离d=r，
∴$\frac{|4-2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2，即4k²-16k+16=4+4k²，
解得：k=$\frac{3}{4}$，
当直线y=k（x-2）+4过点C时，将x=-2，y=0代入直线方程得：-4k+4=0，
解得：k=1，
则直线与曲线有2个交点时k的范围为（$\frac{3}{4}$，1]．
故选C．

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，利用了数形结合的数学思想，直线与圆的位置关系由d与r的大小来判断（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径），当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交．