Question

13．设a+b=2，b＞0，则当a=-$\frac{2}{3}$时，$\frac{1}{8|a|}$+$\frac{|a|}{b}$取得最小值．

Answer 1

分析 由于a+b=2，b＞0，从而$\frac{1}{8|a|}$+$\frac{|a|}{b}$=$\frac{1}{8|a|}$+$\frac{|a|}{2-a}$，（a＜2），设f（a）=$\frac{1}{8|a|}$+$\frac{|a|}{2-a}$，（a＜2），画出此函数的图象，结合导数研究其单调性，即可得出答案．

解答 解：∵a+b=2，b＞0，
∴$\frac{1}{8|a|}$+$\frac{|a|}{b}$=$\frac{1}{8|a|}$+$\frac{|a|}{2-a}$，（a＜2）
设f（a）=$\frac{1}{8|a|}$+$\frac{|a|}{2-a}$，（a＜2），画出此函数的图象，如图所示．
利用导数研究其单调性得，
当a＜0时，f（a）=-$\frac{1}{8a}$+$\frac{a}{a-2}$，
f′（a）=$\frac{1}{8{a}^{2}}$-$\frac{2}{（a-2）^{2}}$=$\frac{（5a-2）（-3a-2）}{8{a}^{2}（a-2）^{2}}$，当a＜-$\frac{2}{3}$时，f′（a）＜0，当-$\frac{2}{3}$＜a＜0时，f′（a）＞0，
故函数在（-∞，-$\frac{2}{3}$）上是减函数，在（-$\frac{2}{3}$，0）上是增函数，
∴当a=-$\frac{2}{3}$时，取得最小值$\frac{5}{16}$．
同样地，当0＜a＜2时，得到当a=$\frac{2}{5}$时，取得最小值$\frac{7}{16}$．
综合，则当a=-$\frac{2}{3}$时，$\frac{1}{8|a|}$+$\frac{|a|}{b}$取得最小值．
故答案为：-$\frac{2}{3}$

点评 本题考查导数在最值问题的应用，考查数形结合思想，属于中档题．