Question

17．已知函数f（x）=x²-2x-8，
（1）若对x＞3，不等式f（x）＞（m+2）x-m-15恒成立，求实数m的取值范围
（2）记h（x）=-$\frac{1}{2}$f（x）-4，那么当x≥$\frac{1}{2}$时，是否存在区间[m，n]（m＜n）使得函数在区间[m，n]上的值域恰好为[km，kn]？若存在，请求出区间[m，n]；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把不等式f（x）＞（m+2）x-m-15转化为一元二次不等式恒成立问题，然后列出不等式组，求解即可得实数m的取值范围．
（2）利用配方法求出h（x），进一步得到h（x）在[m，n]上单调递增，然后分类讨论即可得出结论．

解答 解：（1）f（x）=x²-2x-8，x²-2x-8＞（m+2）x-m-15，即x²-（m+4）x+7+m＞0对x＞3恒成立，
则①$\left\{\begin{array}{l}\frac{m+4}{2}≤3\\ 9-3（m+4）+m+7≥0\end{array}\right.$或②△=（m+4）²-4（m+7）≤0
解得①m≤2或 ②-6≤m≤2
综合得m的取值范围为（-∞，2]．
（2）$h（x）=-\frac{1}{2}{x^2}+x=-\frac{1}{2}{（x-1）^2}+\frac{1}{2}$，$kn≤h（x）_{max}=\frac{1}{2}n≤\frac{1}{2k}$，又$k≥\frac{1}{2}$，
∴n≤1，∴h（x）在[m，n]上单调递增，$\left\{\begin{array}{l}{h（m）=km}\\{h（n）=kn}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{m}^{2}+m=km}\\{-\frac{1}{2}{n}^{2}+n=kn}\end{array}\right.$，
m，n是方程-$\frac{1}{2}$x²+（1-k）x=0的两根，
∴x₁=0，x₂=2-2k．
∴当$\frac{1}{2}≤k＜1$时，[m，n]=[0，2-2k]，
当k＞1时，[m，n]=[2-2k，0]，
当k=1时，不存在区间．

点评 本题考查了函数恒成立问题，考查了基本不等式的应用，是中档题．