Question

8．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BA⊥CA，∠ACB=60°，AC=1，AA₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，点D，D₁分别是BC，B₁C₁的中点．
（1）求证：DC₁∥平面ABD₁；
（2）求二面角D₁-AB-D的大小．

Answer 1

分析 （1）推导出四边形BDC₁D₁为平行四边形，从而DC₁∥BD₁．由此能证明DC₁∥平面ABD₁．
（2）过D作DE⊥AB，垂足为E，连接D₁E，DD₁．推导出D₁D⊥AB．D₁E⊥AB，从而∠D₁ED是二面角D₁-AB-D的平面角．由此能求出二面角D₁-AB-D的大小．

解答 证明：（1）∵BC∥B₁C₁，BC=B₁C₁，D，D₁分别是BC，B₁C₁的中点，
∴BD∥C₁D₁，BD=C₁D₁，∴四边形BDC₁D₁为平行四边形，
∴DC₁∥BD₁．
又DC₁?平面ABD₁，BD₁?平面ABD₁，
∴DC₁∥平面ABD₁．
解：（2）如图，过D作DE⊥AB，垂足为E，连接D₁E，DD₁．
由题意知D₁D⊥平面ABC，∴D₁D⊥AB．
又D₁D∩DE=D，∴AB⊥平面D₁DE，D₁E⊥AB，
∴∠D₁ED是二面角D₁-AB-D的平面角．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=60°，AC=1，∴AD=BD=1，
∴E是AB的中点，DE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$．
在Rt△D₁DE中，tan∠D₁ED=$\frac{{D}_{1}D}{DE}$=$\sqrt{3}$，
∴∠D₁ED=60°，即二面角D₁-AB-D的大小为60°．

点评 本题主要考查考生对空间几何体中线面平行、线面垂直关系的判断，二面角的平面角的作法及求法，是中档题．