Question

某公园设有甲，乙，丙三关的闯关游戏，且通过甲，乙，丙三关的概率分别为

2

3

，

2

3

，

1

2

，甲，乙，丙三关的过关得分分别记为4分，2分，4分，若某关没有闯过，则该关得分记为0分，各关之间互不影响
（1）若闯关得分不低于8分则获奖，求获奖的概率
（2）记闯关成功的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）闯关得分不低于8分包含两种情况通过三关或通过甲、丙两关但乙关没通过，由此能求出获奖的概率．（2）由已知得ξ=0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答： 解：（1）闯关得分不低于8分包含两种情况：
通过三关或通过甲、丙两关但乙关没通过，
∴获奖的概率P=

2

3

×

2

3

×

1

2

+

2

3

×(1-

2

3

)×

1

2

=

2

9

+

1

9

=

1

3

．
（2）由已知得ξ=0，1，2，3，
P（ξ=0）=（1-

2

3

）（1-

2

3

）（1-

1

2

）=

1

18

，
P（ξ=1）=

2

3

(1-

2

3

)(1-

1

2

)+(1-

2

3

)×

2

3

×(1-

1

2

)+(1-

2

3

)(1-

2

3

)×

1

2

=

5

18

，
P（ξ=2）=

2

3

×

2

3

×(1-

1

2

)+

2

3

×(1-

2

3

)×

1

2

+（1-

2

3

）×

2

3

×

1

2

=

4

9

，
P（ξ=3）=

2

3

×

2

3

×

1

2

=

2

9

，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	1 18	5 18	4 9	2 9

Eξ=0×

1

18

+1×

5

18

+2×

4

9

+3×

2

9

=

15

6

．

点评：本题考查获奖的概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．