题目内容
若x＞0，y＞0，且2x+y+6=xy，则2x+y的最小值是 ．
考点：基本不等式
专题：不等式的解法及应用
分析：由已知条件可得x-1＞0，进而可得2x+y=2（x-1）+
+4≥4+2
=12，验证等号成立即可．
| 8 |
| x-1 |
2(x-1)•
|
解答：
解：∵x＞0，y＞0，且2x+y+6=xy，
若x=1，则2+y+6=y，即8=0矛盾，故x≠1，
变形可得（x-1）y=2x+6，∴y=
，
由y＞0可得
＞0，可得x-1＞0，
∴2x+y=2x+
=2x+
=2x+2+
=2（x-1）+
+4
≥4+2
=12
当且仅当2（x-1）=
即x=3且y=6时取等号，
故2x+y的最小值为12
故答案为：12
若x=1，则2+y+6=y，即8=0矛盾，故x≠1，
变形可得（x-1）y=2x+6，∴y=
| 2x+6 |
| x-1 |
由y＞0可得
| 2x+6 |
| x-1 |
∴2x+y=2x+
| 2x+6 |
| x-1 |
| 2(x-1)+8 |
| x-1 |
=2x+2+
| 8 |
| x-1 |
| 8 |
| x-1 |
≥4+2
2(x-1)•
|
当且仅当2（x-1）=
| 8 |
| x-1 |
故2x+y的最小值为12
故答案为：12
点评：本题考查基本不等式求最值，得出x-1＞0并准确变形是解决问题的关键，属中档题．
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