Question

若函数f（x）对于任意的x，y∈R满足f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0．
（1）证明：f（x）是奇凼数；
（2）判断 f（x）在R上的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）通过赋值法令x=x，y=-x即可获得f（-x）与f（x）的关系，从而问题即可获得求解；
（2）利用赋值法，通过函数的单调性的定义证明函数的单调性．

解答： 解：（1）令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0）
∴f（0）=0，
f（x）的定义域为R，关于数0对称，
令x=x，y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）
则f（-x）=-f（x）．
故f（x）为奇函数．
（2）f（x）为单调递减函数，
当x＞0时，f（x）＜0．f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=x₂，y=-x₁，且x₂＞x₁，f（x₂-x₁）＜0
则f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁）
故f（x）为单调递减函数．

点评：本题考查抽象函数的应用，函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与证明，考查基本知识的应用．