Question

已知实数a满足有且仅有一个正方形，其四个顶点均在曲线y=x³+ax上，求该正方形的边长．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：三角函数的求值

分析：分别设出A，B，C，D的坐标，令x₀=rcosθ，y₀=rsinθ，r＞0，θ∈（0，

π

2

），得到方程（1+a²）（sin²2θ）²-（4+a²）sin²2θ+4=0，根据△=0，解出即可．

解答： 解：设正方形的四个顶点为 A、B、C、D，那么ABCD的中心为原点O．
否则，由于y=x³+ax为奇函数，因此A、B、C、D关于O点的对称点A′、B′、C′、D′也在曲线上，
且A′B′C′D′也是正方形，与题设矛盾．设四点为A（x₀，y₀），B（-y₀，x₀），C（-x₀，-y₀），D（y₀，-x₀），其中x₀＞0，y₀＞0，
则y₀=x03+ax₀，①，-x₀=y03+ay₀，②，
①×x₀+②×y₀，得：x04+y04+a（x02+y02）=0，③
①×y₀-②×x₀，得：x02+y02=x₀y₀（x02-y02），④
令x₀=rcosθ，y₀=rsinθ，r＞0，θ∈（0，

π

2

），
由③④得：a=-r²（1-2sin²θcos²θ）
消去r²，得关于sin2θ的方程：
（1+a²）（sin²2θ）²-（4+a²）sin²2θ+4=0
因sin²2θ在（0，1）内只有一个根，
∴△=（a²+4）²-16（1+a²）=a⁴-8a²=0，
∴a=-2

2

，（由③知a＜0），sin2θ=

6

2

，sin4θ=

2 2

3

，r=

18

，
∴正方形的边长为：

2r

=

4	72

．

点评：本题考查了三角函数问题，考查了二次函数的性质，考查转化思想，是一道中档题．