Question

过抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点F的直线l交E于A、B两点，由点A、B作抛物线准线m的垂线，垂足分别为点D、C，向四边形ABCD内部随机投一点，则该点落在△CFD内部的概率的最大值为

 

．

Answer 1

考点：几何概型,抛物线的简单性质

专题：概率与统计

分析：由题意，设出直线方程，利用直线与抛物线方程得到A，B两点间的坐标关系，然后利用根与系数的关系求出梯形ABCD，△CDF的面积，然后利用几何概型法概率公式解之．

解答： 解：设直线AB：x=my+

p

2

，代入抛物线方程，消元可得y²-2pmy-p²=0
设A（x₁，y₁） B（x₂，y₂），则y₁y₂=-p²，y₁+y₂=2pm，x1+x2=2pm2+p，
S_△CDF=

p

2

|y₁-y₂|，
梯形ABCD的面积为

1

2

(AD+BC)CD=

1

2

(x1+x2+p)(y1-y₂），
由几何概型的概率公式得
点落在△CFD内部的概率为

S△CDF

S梯形ABCD

=

p 2 |y1-y2|

1 2 (x1+x2+p)|y1-y2|

=

1

2m2+2

，
点落在△CFD内部的概率为的最大值为

1

2

；
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查了几何概型与抛物线相结合的问题；关键是利用直线与抛物线的关系得到梯形ABCD以及△CDF的面积．