Question

已知数列{a_n}的首项为a₁=2，前n项s_n，且满足（a_n-1）n²+n-s_n=0
（1）证明数列{

n+1

n

s_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式
（2）设b_n=

an

n2+n+2

，记数列{b_n}的前n项和为Tⁿ，求证：Tⁿ＜1．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由数列递推式求得数列首项，结合a_n=S_n-S_n-1求得数列{

n+1

n

s_n}是以4为首项，1为公差的等差数列．由等差数列的通项公式得到S_n，再由a_n=S_n-S_n-1求数列{a_n}的通项公式；
（2）把an=

2

n

-

2

n+1

+1代入b_n=

an

n2+n+2

，整理后利用裂项相消法求Tⁿ，则答案可证．

解答： 解：（1）由（a_n-1）n²+n-s_n=0，
当n=1时，S₁=a₁=2，
当n≥2时，(Sn-Sn-1-1)n2+n-Sn=0，
(n2-1)Sn-n2Sn-1=n2-n，
（n+1）（n-1）Sn-n2Sn-1=n（n-1），
等式两边同除以n（n-1），得

n+1

n

s_n-

n

n-1

Sn-1=1为定值．
又

2

1

S1=2S1=2×2=4，
∴数列{

n+1

n

s_n}是以4为首项，1为公差的等差数列．

n+1

n

S_n=4+1×（n-1）=n+3．
Sn=

n(n+3)

n+1

=

n(n+1+2)

n+1

=

n(n+1)+2n

n+1

=

n(n+1)+2(n+1)-2

n+1

=n+2-

2

n+1

．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

2

n

-

2

n+1

+1．
当n=1时，a₁=2满足上述通项公式．
∴数列{a_n}的通项公式为an=

2

n

-

2

n+1

+1；
（2）an=

2

n

-

2

n+1

+1；
b_n=

an

n2+n+2

=

2 n - 2 n+1 +1

n2+n+2

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴Tⁿ=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的前n项和，考查了数列不等式的证法，是中档题．