Question

已知递增的等比数列{a_n}的前n项和S_n满足：S₄=S₁+28，且a₃+2是a₂和a₄的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=a_nlog 

1

2

a_n，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求使T_n+n•2ⁿ⁺¹=30成立的正整数n的值．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由题意，得

a1(q+q2+q3)=28 a1(q+q3)=2(a1q2+2)

，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）b_n=a_nlog 

1

2

a_n，T_n=b₁+b₂+…+b_n=-（1×2+2×2²+…+n×2ⁿ），进而可得T_n+n•2ⁿ⁺¹=30成立的正整数n的值．

解答： 解：（I）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵S₄=S₁+28，且a₁+2是a₂和a₄的等差中项．
∴

a1(q+q2+q3)=28 a1(q+q3)=2(a1q2+2)

，
解得

a1=2 q=2

，
即数列{a_n}的通项公式为a_n=2•2^n-1=2ⁿ…（6分）
（Ⅱ）b_n=a_nlog 

1

2

a_n，…（8分）
T_n=b₁+b₂+…+b_n=-（1×2+2×2²+…+n×2ⁿ）①
则2T_n=-（1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹）②
②-①，得T_n=（2+2²+…+2ⁿ）-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹
即数列{b_n}的前项和T_n=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
则T_n+n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2=30，
即2ⁿ⁺¹=32，
解得：n=4

点评：本题考查数列的性质的应用，解题时要认真审题，注意数列与不等式的综合运用，合理地进行等价转化．