Question

已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且S_n+

1

2

a_n=1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=-3log3

an

2

+1（n∈N^*），求

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

b20b21

的值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用数列中a_n与 S_n关系：当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1解决．得出3a_n=a_n-1，判定数列{a_n}是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列．通项公式易求．
（Ⅱ）bn=-3log3

an

2

+1=-3×log3(

1

3

)n+1=3n+1，利用裂项法求数列和即可．

解答： 解：（ I）当n=1时，a₁=S₁，由s1+

1

2

a1=1，得a₁=

2

3

，
当n≥2时，∵s_n=1-

1

2

a_n，s_n-1=1-

1

2

an-1，
∴s_n-s_n-1=

1

2

（a_n-1-a_n），即a_n=

1

3

a_n-1，
∴数列{a_n}是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列，故a_n=

2

3

•(

1

3

)n-1=2•(

1

3

)n．
（ II）bn=-3log3

an

2

+1=-3×log3(

1

3

)n+1=3n+1，

1

bnbn+1

=

1

(3n+1)(3n+4)

=(

1

3n+1

-

1

3n+4

)×

1

3

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

b20b21

=

1

3

×(

1

4

-

1

7

+

1

7

-

1

10

+…+

1

61

-

1

64

)=

1

3

×(

1

4

-

1

64

)=

5

64

．

点评：本题主要考查等比数列的定义及公式法求数列的通项公式，裂项相消法求数列的和等知识，属于常规题、中档题，应熟练掌握．