Question

已知定义域为R的函数f（x）=（

2

2x+a

-1）是奇函数．
（1）求a的值；
（2）用单调性的定义证明f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；
（3）若实数m满足f（1-2m）+f（

2m

3

+1）≤0，求m的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：

分析：本题（1）可以利用函数f（x）的奇偶性定义，得到参数a的值；（2）直接利用函数的单调性定义进行证明；（3）根据函数的奇偶性和单调性，从而将函数值问题转化为自变量大小的比较，再解不等式，得到本题的结论．

解答： （1）解：∵定义域为R的函数f（x）=

2

2x+a

-1是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），x∈R．
∴

2

2x+a

-1=-

2

2-x+a

+1，
∴

1

2x+a

+

1

2-x+a

=1，
∴（a-1）2^2x+（a-1）²2^x+（a-1）=0，
∴（a-1）[2^2x+（a+1）2^x+1]=0，
∴a=1．
（2）证明：在（-∞，+∞）上任取两个数x₁，x₂，且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=(

2

2x2+1

-1)-(

2

2x1+1

-1)=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，
∴2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．
（3）∵奇函数f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，
∴f（1-2m）+f（

2m

3

+1）≤0可转化为：
f（1-2m）≤-f（

2m

3

+1），
∴f（1-2m）≤f（-

2m

3

-1），
∴f（1-2m）≤f（-

2m

3

-1），
∴1-2m≥-

2m

3

-1，
∴m≤

3

2

．
∴m的取值范围是（-∞，

3

2

]．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性及其应用，本题有一定的思维难度，属于中档题．