Question

11．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log_a$\frac{2}{1-x}$．
（1）求f（x）的定义域D及其零点；
（2）设g（x）=mx²-2mx+3，当a＞1时，若对任意x₁∈（-∞，-1]，存在x₂∈[3，4]，使得f（x₁）≤g（x₂），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的性质求出函数的定义域即可，令f（x）=0，求出函数的零点即可；
（2）要满足题意只需f（x）_max≤g（x）_max，易得f（x）_max=f（-1）=0，由二次函数分类讨论可得g（x）_max，解关于m的不等式可得．

解答 解：（1）由题意知，$\frac{2}{1-x}$＞0，1-x＞0，解得x＜1，
所以函数f（x）的定义域为：（-∞，1），
令f（x）=0，得$\frac{1}{1-x}$=1，解得：x=-1，
故函数f（x）的零点为-1；
（2）若对于任意x₁∈（-∞，-1]，存在x₂∈[3，4]，使得f（x₁）≤g（x₂）成立，
只需f（x）_max≤g（x）_max，
当a＞1时，f（x）在（-∞，1]上单调递增，则f（x）_max=f（-1）=0，
当m=0时，g（x）=3，f（x₁）≤g（x₂）成立，
当m＞0时，g（x）在[3，4]上单调递增，g（x）_max=g（4）=8m+3，
由8m+3≥0，解得：m≥-$\frac{3}{8}$，∴m＞0，
当m＜0时，g（x）在[3，4]上单调递减，g（x）_max=g（3）=3m+3，
由3m+3≥0，解得：m≥-1，∴-1≤m＜0，
综上，满足条件的m的范围是：m≥-1．

点评 本题考查对数函数的性质，涉及单调性和分类讨论的思想，属中档题．