Question

3．若A={x|2^x≤（$\frac{1}{4}$）^x-2}，则函数y=（$\frac{1}{2}$）^x（x∈A）的值域为[${2}^{-\frac{4}{3}}$，+∞）．

Answer 1

分析 求解出集合A，根据集合A的范围就是函数y的定义域，可求函数y的值域．

解答 解：集合A={x|2^x≤（$\frac{1}{4}$）^x-2}，
∵2^x≤（$\frac{1}{4}$）^x-2，
∴2^x≤2^4-2x，
解得：x≤$\frac{4}{3}$．
集合A={x|x≤$\frac{4}{3}$}．
函数y=（$\frac{1}{2}$）^x（x∈A）是减函数，
故得当x=$\frac{4}{3}$取得最小值，即y=$（\frac{1}{2}）^{\frac{4}{3}}$=${2}^{-\frac{4}{3}}$
所以函数y=（$\frac{1}{2}$）^x（x∈A）的值域为[${2}^{-\frac{4}{3}}$，+∞）；
故答案为：[${2}^{-\frac{4}{3}}$，+∞）；

点评 本题考查了指数幂的运算和值域的求法，属于基础题．