Question

1．已知$|{\overrightarrow{\;a\;}}|=3$，$|{\overrightarrow{\;b\;}}|=4$，
（1）若$（{\overrightarrow{\;a\;}+2\overrightarrow{\;b\;}}）•（{2\overrightarrow{\;a\;}-\overrightarrow{\;b\;}}）=-20$，求$\overrightarrow{\;a\;}$与$\overrightarrow{\;b\;}$的夹角；
（2）若$\overrightarrow{\;a\;}$与$\overrightarrow{\;b\;}$的夹角为60°，试确定实数k，使$k\overrightarrow{\;a\;}+\overrightarrow{\;b\;}$与$\overrightarrow{\;a\;}-\overrightarrow{\;b\;}$垂直．

Answer 1

分析 （1）由$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）•（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$=2${\overrightarrow{a}}^{2}$+3$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-2${\overrightarrow{b}}^{2}$=-20，能求出$\overrightarrow{\;a\;}$与$\overrightarrow{\;b\;}$的夹角．
（2）由$（k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$=$k{\overrightarrow{a}}^{2}+（1-k）\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-{\overrightarrow{b}}^{2}$=0，能求出k．

解答 解：（1）∵$|{\overrightarrow{\;a\;}}|=3$，$|{\overrightarrow{\;b\;}}|=4$，$（{\overrightarrow{\;a\;}+2\overrightarrow{\;b\;}}）•（{2\overrightarrow{\;a\;}-\overrightarrow{\;b\;}}）=-20$，
∴$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）•（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$=2${\overrightarrow{a}}^{2}$+3$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-2${\overrightarrow{b}}^{2}$
=2×9-2×16+3×3×4×cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=-20，
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=-$\frac{1}{6}$，
∴＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=arccos（-$\frac{1}{6}$）=$π-arccos\frac{1}{6}$．
∴$\overrightarrow{\;a\;}$与$\overrightarrow{\;b\;}$的夹角为$π-arccos\frac{1}{6}$．
（2）∵$|{\overrightarrow{\;a\;}}|=3$，$|{\overrightarrow{\;b\;}}|=4$，$\overrightarrow{\;a\;}$与$\overrightarrow{\;b\;}$的夹角为60°，$k\overrightarrow{\;a\;}+\overrightarrow{\;b\;}$与$\overrightarrow{\;a\;}-\overrightarrow{\;b\;}$垂直，
∴$（k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$=$k{\overrightarrow{a}}^{2}+（1-k）\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-{\overrightarrow{b}}^{2}$=0，
∴9k+（1-k）×3×4×cos60°-16=0，
解得k=$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查向量的夹角的求法，考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量数量积公式的合理运用．