Question

10．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且$\frac{a}{b}$cosC+$\frac{c}{2b}$=1．
（1）求角A的大小；
（2）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用正弦定理、和差化积即可得出；
（II）利用正弦定理、和差化积、三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由已知得$\frac{a}{b}$cosC+$\frac{c}{2b}$=1．
即sinAcosC+$\frac{1}{2}$sinC=sinB，
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴$\frac{1}{2}$sinC=cosAsinC．
∵sinC≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$．
又∵A∈（0，π），∴$A=\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）由正弦定理得$b=\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$sinB，c=$\frac{2}{\sqrt{3}}$sinC，
∴l=a+b+c=1+$\frac{2}{\sqrt{3}}$sinB+$\frac{2}{\sqrt{3}}$sinC=1+$\frac{2}{\sqrt{3}}$[sinB+sin（A+B）]
=1+2$sin（B+\frac{π}{6}）$．
∵A=$\frac{π}{3}$，
∴B∈$（0，\frac{2π}{3}）$，$B+\frac{π}{6}$∈$（\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，
∴sin$（B+\frac{π}{6}）$∈$（\frac{1}{2}，1]$．
故△ABC的周长l的取值范围是（2，3]．

点评 本题考查了正弦定理、和差化积、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．