Question

6．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，则直线BA₁与平面BDC₁所成角的正弦值为$\frac{4\sqrt{5}}{15}$..

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BA₁与平面BDC₁所成角的正弦值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意得B（1，1，0），A₁（1，0，2），D（0，0，0），C₁（0，1，2），
$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（0，-1，2），$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，1，2），
设平面BDC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=y+2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（2，-2，1），
设直线BA₁与平面BDC₁所成角为θ，
sinθ=$\frac{|\overrightarrow{B{A}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{B{A}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|4|}{\sqrt{5}•\sqrt{9}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{15}$．
∴直线BA₁与平面BDC₁所成角的正弦值为$\frac{4\sqrt{5}}{15}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{5}}{15}$．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．