Question

11．设π＜α＜2π，向量$\overrightarrow{a}$=（-2，1），$\overrightarrow{b}$=（sinα，2cosα），$\overrightarrow{c}$=（cosα，-2sinα）．
（1）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，求α；
（2）若|$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{3}$，求sinα+cosα的值．

Answer 1

分析 （1）利用数量积的运算性质即可得出；
（2）利用向量模的计算、三角函数的值的符号，即可求出答案．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$=（-2，1），$\overrightarrow{b}$=（sinα，2cosα），$\overrightarrow{c}$=（cosα，-2sinα），$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
∴-2sinα+2cosα=0，
∴tanα=1，
∵π＜α＜2π，
∴α=$\frac{5}{4}$π；
（2）由|$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{3}$，得|$\overrightarrow{b}$|²+|$\overrightarrow{c}$|²+$\overrightarrow{b}$$\overrightarrow{c}$=3，
∴5-6sinαcosα=3，
∴2sinαcosα=$\frac{2}{3}$，
∴sinα与cosα同号，
∵π＜α＜2π，
∴π＜α＜$\frac{3π}{2}$，
∴sinα＜0，cosα＜0，
∴sinα+cosα＜0，
∴（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=1+$\frac{2}{3}$=$\frac{5}{3}$，
∴sinα+cosα=-$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

点评 本题考查了数量积的运算性质、向量的模、三角函数的值等基础知识与基本技能方法，属于中档题．