Question

12．某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设∠AOF=θ，其中O为圆心．
（1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）；
（2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．

Answer 1

分析 （1）作AH⊥CF于H，则六边形的面积为f （θ）=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0，$\frac{π}{2}$）．
（2）求导，分析函数的单调性，进而可得θ=$\frac{π}{3}$时，f （θ）取最大值．

解答 （本题满分16分）
解：（1）作AH⊥CF于H，
则OH=cosθ，AB=2OH=2cosθ，AH=sinθ，…（2分）
则六边形的面积为f （θ）=2×$\frac{1}{2}$（AB+CF）×AH=（2cosθ+2）sinθ
=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0，$\frac{π}{2}$）．                           …（6分）
（2）f′（θ）=2[-sinθsinθ+（cosθ+1）cosθ]
=2（2cos²θ+cosθ-1）=2（2cosθ-1）（cosθ+1）．            …（10分）
令 f′（θ）=0，因为θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
所以cosθ=$\frac{1}{2}$，即θ=$\frac{π}{3}$，…（12分）
当θ∈（0，$\frac{π}{3}$）时，f′（θ）＞0，所以f （θ）在（0，$\frac{π}{3}$）上单调递增；
当θ∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）时，f′（θ）＜0，所以f （θ）在（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）上单调递减，…（14分）
所以当θ=$\frac{π}{3}$时，f （θ）取最大值f （$\frac{π}{3}$）=2（cos$\frac{π}{3}$+1）sin$\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．    …（15分）
答：当θ=$\frac{π}{3}$时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$平方百米．…（16分）

点评 本题考查的知识点是三角函数的实际应用，利用导数研究函数的最大值，难度中档．