Question

4．已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=4，直线l₁过定点A（1，0）．
（1）若l₁与圆C相切，求l₁的方程；
（2）若l₁的倾斜角为$\frac{π}{4}$，l₁与圆C相交于P、Q两点，求线段PQ的中点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）由直线l₁与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，求得直线方程，注意分类讨论；
（2）l₁的方程为y=x-1，过圆心C与l₁垂直的方程为y-4=-（x-3），联立两个方程可得线段PQ的中点M的坐标．

解答 解：（1）①若直线l₁的斜率不存在，即直线x=1，符合题意．
②若直线l₁斜率存在，设直线l₁为y=k（x-1），即kx-y-k=0．
由题意知，圆心（3，4）到已知直线l₁的距离等于半径2，
即$\frac{|3k-4-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解之得k=$\frac{3}{4}$．
所求直线方程是x=1，3x-4y-3=0．
（2）l₁的方程为y=x-1，过圆心C与l₁垂直的方程为y-4=-（x-3）
联立两个方程可得x=4，y=3，
∴线段PQ的中点M的坐标为（4，3）．

点评 本题主要考查直线与圆的位置关系以及直线与直线的交点，属于中档题．