题目内容
寒假期间，我市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光花园”社区人们的幸福度，现从调查人群中随机抽取16名，如果所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）；若幸福度分数不低于8.5分，则该人的幸福度为“幸福”．（Ⅰ）求从这16人中随机选取3人，至少有2人为“幸福”的概率；
（Ⅱ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差,互斥事件的概率加法公式
专题：概率与统计
分析：（I）记至少有2人是“幸福”为事件A，利用间法和排列组合知识能求出至少有2人为“幸福”的概率．
（Ⅱ）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和数学期望．
（Ⅱ）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和数学期望．
解答：
解：（I）记至少有2人是“幸福”为事件A，
由题意知
P（A）=1-
-
=1-
-
=
．…（6分）
（Ⅱ）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=（
）3=
，
P（ξ=1）=
•
•(
)2=
，
P（ξ=2）=
(
)2(
)=
，
P（ξ=3）=（
）3=
，…（10分）
∴ξ的分布列为：
Eξ=
×0+
×1+
×2+
×3=
．…（12分）
由题意知
P（A）=1-
| ||
|
| ||||
|
=1-
| 1 |
| 140 |
| 18 |
| 140 |
| 121 |
| 140 |
（Ⅱ）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=（
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 64 |
P（ξ=1）=
| C | 1 3 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 9 |
| 64 |
P（ξ=2）=
| C | 2 3 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 27 |
| 64 |
P（ξ=3）=（
| 3 |
| 4 |
| 27 |
| 64 |
∴ξ的分布列为：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 1 |
| 64 |
| 9 |
| 64 |
| 27 |
| 64 |
| 27 |
| 64 |
| 9 |
| 4 |
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合的合理运用．
练习册系列答案
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点P是函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的最高点，M，N是与点P相邻的且该图象与x轴的两个交点，且N（3，0），若同时抛投两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币均正面向上的概率为（ ）
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
| D、1 |
等差数列{an}中，若
=
，则
=（ ）
| a7 |
| a5 |
| 9 |
| 13 |
| S13 |
| S9 |
| A、1 | ||
B、
| ||
C、
| ||
| D、2 |