Question

已知函数f（x）=2cosxcos（

π

6

-x）-

3

sin²x+sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设x∈[-

π

3

，

π

3

]，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数的表达式，通过余弦函数的单调减区间以及函数的单调增区间直接求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）通过x∈[-

π

3

，

π

3

]，求出相位角的范围，利用三角函数的值域直接求f（x）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2cosxcos（

π

6

-x）-

3

sin²x+sinxcosx=

3

（cos²x-sin²x）+2sinxcosx
=2cos（2x-

π

6

）…（3分）
∴令2kπ≤2x-

π

6

≤2kπ+π，k∈Z．…（4分）
⇒kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，k∈Z，
∴函数的递减区间是[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，k∈Z；         …（5分）
令2kπ-π≤2x-

π

6

≤2kπ，…（6分）
∴函数的递增区间是[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z．        …（7分）
（Ⅱ）∵x∈[-

π

3

，

π

3

]，
∴2x-

π

6

∈[-

5π

6

，

π

2

]，…（9分）
又f（x）=2cos（2x-

π

6

），
∴根据三角函数图象可得f（x）∈[-

3

，2]．…（12分）

点评：本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的性质的应用，考查计算能力．