Question

设数列{a_n}是等差数列，{b_n}是各项都为正数的等比数列，且a₁=b₁=1，a₃+b₃=9，a₅+b₂=11
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ只限文班做）求数列{

1

an•an+1

}的前n项和T_n．
（Ⅱ只限理班做）求数列{

an

bn

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件，利用等差数列和等比数列的通项公式列出方程组，分别求出等差数列的公差和等比数列的公比，由此能求出数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
（Ⅱ文科）由a_n=2n-1，利用裂项求和法能求出数列{

1

an•an+1

}的前n项和T_n．
（Ⅱ理科）由an=2n-1，bn=2n-1，得到

an

bn

=

2n-1

2n-1

，利用错位相减法能求出数列{

an

bn

}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q （q＞0）．
∵数列{a_n}是等差数列，{b_n}是各项都为正数的等比数列，
且a₁=b₁=1，a₃+b₃=9，a₅+b₂=11，
∴

(1+2d)+q2=9 (1+4d)+q=11

，
解得

q=2 d=2

，
∴an=2n-1，bn=2n-1．
（Ⅱ文科）∵a_n=2n-1，
∴T_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2n-1)×(2n+1)

=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

1

2

（1-

1

2n+1

）
=

n

2n+1

．
（Ⅱ理科）∵an=2n-1，bn=2n-1，
∴

an

bn

=

2n-1

2n-1

，
∴Tn=

1

20

+

3

21

+

5

22

+…+

2n-1

2n-1

，①
则

1

2

Tn=

1

21

+

3

22

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

，②
由①-②得 

1

2

Tn=

1

20

+

2 21 + 2 22 +…+ 2 2n-1

共n-1项

-

2n-1

2n

=1+

(1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n-1

2n

=3-

3+2n

2n

，
∴Tn=6-

3+2n

2n-1

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法和错位相减法的合理运用．