Question

对于每个非零自然数n，抛物线y=x²-

2n+1

n2+n

x+

1

n2+n

与x轴交于A_n、B_n两点，以A_nB_n表示这两点间的距离，则A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₄B₂₀₁₄的值是（　　）

• A、

  2014

  2013

• B、

  2013

  2014

• C、

  2015

  2014

• D、

  2014

  2015

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知条件推导出方程x²-

2n+1

n2+n

x+

1

n2+n

=（x-

1

n

）（x-

1

n+1

）=0的两个解是A_n、B_n两点，从而得到A_nB_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂项求和法能求出A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₄B₂₀₁₄的值．

解答： 解：抛物线y=x²-

2n+1

n2+n

x+

1

n2+n

与x轴交点，
就是方程x²-

2n+1

n2+n

x+

1

n2+n

=（x-

1

n

）（x-

1

n+1

）=0的两个解，
∵抛物线y=x²-

2n+1

n2+n

x+

1

n2+n

与x轴交于A_n、B_n两点，
∴x₁=A_n=

1

n

，
x₂=B_n=

1

n+1

，
∴A_nB_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₄B₂₀₁₄
=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

2014

-

1

2015

）
=1-

1

2015

=

2014

2015

．
故选：D．

点评：本题考查距离之和的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法和等价转化思想的合理运用．