Question

正四面体ABCD边长为2．E，F分别为AC，BD中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面EFD；
（Ⅱ）求二面角E-FD-C的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连结AF，EF，由已知条件推导出EF⊥AC，DE⊥AC，由此能够证明AC⊥平面EFD．
（Ⅱ）设底面中心为O，以OC，OD，OA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出二面角E-FD-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：连结AF，EF，
∵ABCD是正四面体，E，F分别为AC，BD中点
∴AF=CF，AD=CD，
∴EF⊥AC，DE⊥AC，
∵EF∩DE=E，∴AC⊥平面EFD．
（Ⅱ）解：设底面中心为O，以OC，OD，OA分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系．
∵正四面体ABCD边长为2，
∴OF=

1

3

CF=

3

3

，OA=

( 3 )2-( 3 3 )2

=

2 6

3

，
C（

2 3

3

，0，0），A（0，0，

2 6

3

），
由题意平面DFC的法向量为

OA

=(0，0，

2 6

3

)．
平面EFD的法向量为

CA

=(

2 3

3

，0，-

2 6

3

)，
∴二面角E-FD-C的余弦值：
cosθ=|cos＜

OA

，

CA

＞|=|

2 6 3 •(- 2 6 3 )

2 6 3 • ( 2 3 3 )2+(- 2 6 3 )2

|=

6

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．