Question

已知函数f（x）=|3x-1|+|ax-1|（a＞0）．
（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）≥4的解集；
（Ⅱ）若对任意的x∈R，都有f（x）≥f（

1

3

），求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）当a=2时，分类讨论求得不等式f（x）≥4的解集．
（Ⅱ）分当a＞3时、当0＜a≤3时两种情况，分别利用f（x）的单调性，根据f（x）≥f（

1

3

）恒成立，分别求得a的取值范围，再取并集，即得所求．

解答： 解：（Ⅰ）当a=2时，f(x)=|3x-1|+|2x-1|=

5x-2，x≥ 1 2 x， 1 3 ＜x＜ 1 2 -5x+2，x≤ 1 3

，
当x≥

1

2

时，由f（x）=5x-2≥4，得x≥

6

5

；
当

1

3

＜x＜

1

2

时，由f（x）=x≥4，无解；
当x≤

1

3

时，由f（x）=-5x+2≥4，解得x≤-

2

5

；
综上可知，f（x）≥4的解集为{x|x≥

6

5

或x≤-

2

5

}．
（Ⅱ）当a＞3时，f(x)=|3x-1|+|ax-1|=

-(a+3)x+2，x≤ 1 a (a-3)x， 1 a ＜x＜ 1 3 (a+3)x-2，x≥ 1 3

，
故f（x）在区间(-∞，

1

a

]上单调递减，在区间[

1

a

，+∞)上单调递增．
故f(x)≥f(

1

a

)，与题意不符．
当0＜a≤3时，f(x)=|3x-1|+|ax-1|=

-(a+3)x+2，x≤ 1 3 (3-a)x， 1 3 ＜x＜ 1 a (a+3)x-2，x≥ 1 a

，
故f（x）在区间(-∞，

1

3

]上单调递减，在区间[

1

3

，+∞)单调递增，故有 f(x)≥f(

1

3

)，
综上可知，a的取值范围为（0，3]．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．