Question

已知P，A，B，C是球O球面上四点，△ABC是正三角形，三棱锥P-ABC的体积为

9

4

3

，且∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，则球O的表面积为（　　）

• A、

  16π

  3

• B、8π
• C、

  32π

  3

• D、16π

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：设△ABC的中心为S，球O的半径为R，△ABC的边长为2a，由已知条件推导出a=

3

4

R，再由三棱锥P-ABC的体积为

9

4

3

，求出R=2，由此能求出球O的表面积．

解答： 解：如图，P，A，B，C是球O球面上四点，△ABC是正三角形，
设△ABC的中心为S，球O的半径为R，△ABC的边长为2a，
∵∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，
OB=OP=R，
∴OS=

R

2

，BS=

3

2

R，
∴

2

3

3

a=

3

2

R，解得a=

3

4

R，2a=

3

2

R，
∵三棱锥P-ABC的体积为

9

4

3

，
∴

1

3

×

1

2

S△ABC•PS=

9

4

3

，
即

1

3

×

1

2

×

1

2

×

3

2

R×

3

2

Rsin60°×

3

2

R=

9

4

3

，
解得R=2，
∴球O的表面积S=4πR²=16π．
故选：D．

点评：本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．