Question

16．一个袋子里装有7个球，其中有红球4个，编号分别为1，2，3，4；白球3个，编号分别为1，2，3．从袋子中任取4个球（假设取到任何一个球的可能性相同）．
（1）求取出的4个球中，含有编号为3的球的概率；
（2）在取出的4个球中，红球编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列．

Answer 1

分析 （1）分别算出取出四个球的取法数以及取出的4个球中含有编号为3的球的取法种数，后者与前者之比即为所求．
（2）可知随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4．然后将每种可能取值的概率计算出，即可列出分布表．再由期望的计算公式即可得出期望．

解答 解：（1）一个袋子里装有7个球，其中有红球4个，编号分别为1，2，3，4；白球3个，编号分别为1，2，3．
从袋子中任取4个球（假设取到任何一个球的可能性相同），
基本事件总数$n={C}_{7}^{4}$=35，
取出的4个球中，含有编号为3的球包含的基本事件个数m=${C}_{7}^{4}-{C}_{5}^{4}$=30，
∴取出的4个球中，含有编号为3的球的概率：
p=$\frac{m}{n}$=$\frac{30}{35}=\frac{6}{7}$．
（2）由题意知X的可能取值为1，2，3，4，
P（X=1）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{1}{35}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{4}{35}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{2}{7}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{4}{7}$，
∴随机变量X的分布列是：

X	1	2	3	4
P	$\frac{1}{35}$	$\frac{4}{35}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{4}{7}$

随机变量X的数学期望EX=$1×\frac{1}{35}+2×\frac{4}{35}+3×\frac{2}{7}+4×\frac{4}{7}$=$\frac{17}{5}$．

点评 本题考查随机事件的概率的求法，考查离散型随机变量及分布列、期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．