Question

11．已知A₁，A₂是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$长轴的两个端点，B是它短轴的一个端点，如果$\overrightarrow{B{A_1}}$与$\overrightarrow{B{A_2}}$的夹角不小于$\frac{2π}{3}$，则该椭圆的离心率的取值范围是$[\frac{{\sqrt{6}}}{3}，1）$．

Answer 1

分析 利用向量夹角公式、三角函数的单调性即可得出．

解答 解：取A₁（-a，0），A₂（a，0），B（0，b）．
$\overrightarrow{B{A_1}}$=（-a，-b），$\overrightarrow{B{A_2}}$=（a，-b）．
∵$\overrightarrow{B{A_1}}$与$\overrightarrow{B{A_2}}$的夹角不小于$\frac{2π}{3}$，
∴$cos＜\overrightarrow{B{A}_{1}}，\overrightarrow{B{A}_{2}}＞$=$\frac{\overrightarrow{B{A}_{1}}•\overrightarrow{B{A}_{2}}}{|\overrightarrow{B{A}_{1}}||\overrightarrow{B{A}_{2}}|}$=$\frac{-{a}^{2}+{b}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$≤$cos\frac{2π}{3}$=-$\frac{1}{2}$，
化为：a²≥3b²．
∴e=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$≥$\frac{\sqrt{6}}{3}$，又0＜e＜1．
∴e∈$[\frac{{\sqrt{6}}}{3}，1）$．
故答案为：$[\frac{{\sqrt{6}}}{3}，1）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量夹角公式、数量积运算性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．