题目内容
20．对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若有关系式$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AC}$，求证：点P与点A，B，C共面．分析 由已知推导出$\overrightarrow{OP}=-3\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}$，由此能证明点P与点A，B，C共面．
解答 证明：∵空间任一点O和不共线的三点A，B，C，
有关系式$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}+2（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）+2（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}）$，
∴$\overrightarrow{OP}=-3\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}$，
∵-3+2+2=1，
∴点P与点A，B，C共面．
点评 本题考查四点共面的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意向量运算法则的合理运用．
练习册系列答案
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在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）ABCD-A′B′C′D′中，分别标出$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AA′}$，$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AA′}$+$\overrightarrow{AD}$表示的向量．从中你能体会向量加法运算的交换律及结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系．
15．已知O是平面内任意一点，α是任意角，下列等式一定可以判定A，B，C三点共线的是（ ）
| A． | $\overrightarrow{OC}$=sinα$\overrightarrow{OA}$+cosα$\overrightarrow{OB}$ | B． | $\overrightarrow{OC}$=sin2α$\overrightarrow{OA}$+cos2α$\overrightarrow{OB}$ | ||
| C． | $\overrightarrow{OC}$=sinα$\overrightarrow{OA}$-cosα$\overrightarrow{OB}$ | D． | $\overline{OC}$=sin2α$\overrightarrow{OA}$-cos2α$\overrightarrow{OB}$ |