Question

20．已知函数f（x）在[0，+∞）上递增，$f（\frac{1}{3}）=0$，已知g（x）=-f（|x|），满足$g（{log_{\frac{1}{8}}}x）＞0$的x的取值范围是（　　）

• A． （0，+∞）
• B． $（0，\frac{1}{2}）∪（2，+∞）$
• C． $（0，\frac{1}{8}）∪（\frac{1}{2}，2）$
• D． $（\frac{1}{2}，2）$

Answer 1

分析 根据条件先判断函数g（x）是偶函数，然后结合函数f（x）的单调性和取值，判断g（x）在[0，+∞）上的单调性，将不等式进行转化进行求解即可．

解答 解：∵g（x）=-f（|x|），
∴g（-x）=-f（|-x|）=-f（|x|）=g（x），
故g（x）是偶函数，
且g（$\frac{1}{3}$）=-f（$\frac{1}{3}$）=0，g（-$\frac{1}{3}$）=-f（|-$\frac{1}{3}$|）=-f（$\frac{1}{3}$）=0，
当x≥0是，f（x）为增函数，此时g（x）=-f（|x|）=-f（x）为减函数，
则不等式$g（{log_{\frac{1}{8}}}x）＞0$等价为g（|log${\;}_{\frac{1}{8}}$x|）＞g（$\frac{1}{3}$），
即|log${\;}_{\frac{1}{8}}$x|＜$\frac{1}{3}$，
即-$\frac{1}{3}$＜log${\;}_{\frac{1}{8}}$x＜$\frac{1}{3}$，
即$-\frac{1}{2}$＜x＜2，
故选：D．

点评 本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的单调性和奇偶性，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转换是解决本题的关键．