题目内容
在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，
=（b，2a-c），
=（cosC，-cosB），且
⊥
．
（1）求角B的大小；
（2）求sinA+sinC的取值范围．
| m |
| n |
| m |
| n |
（1）求角B的大小；
（2）求sinA+sinC的取值范围．
考点：正弦定理,平面向量数量积的运算
专题：三角函数的求值,解三角形
分析：（1）通过向量的数量积化简表达式，利用正弦定理以及两角和的正弦函数，求出角B的余弦值，即可得到B的大小；
（2）利用B的大小，结合三角形的内角和，利用两角和的正弦函数化简sinA+sinC为A的三角函数，然后求解它的取值范围．
（2）利用B的大小，结合三角形的内角和，利用两角和的正弦函数化简sinA+sinC为A的三角函数，然后求解它的取值范围．
解答：
（本小题满分13分）
解：（1）由
⊥
，得bcosC=（2a-c）cosB，
∴bcosC+ccosB=2acosB，由正弦定理得 sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB
∴sin（B+C）=2sinAcosB．又B+C=π-A，∴sinA=2sinAcosB，
又sinA≠0，∴cosB=
，
又B∈（0，π）∴B=
．
（2）∵A+B+C=π，∴A+C=
，∴sinA+sinC=sinA+sin(
-A)
=sinA+sin
cosA-cos
sinA=
sinA+
cosA=
sin(A+
)，
∵0＜A＜
，∴
＜A+
＜
，∴
＜sin(A+
)≤1，
∴
＜sinA+sinC≤
．
故sinA+sinC的取值范围是(
，
]．
解：（1）由
| m |
| n |
∴bcosC+ccosB=2acosB，由正弦定理得 sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB
∴sin（B+C）=2sinAcosB．又B+C=π-A，∴sinA=2sinAcosB，
又sinA≠0，∴cosB=
| 1 |
| 2 |
又B∈（0，π）∴B=
| π |
| 3 |
（2）∵A+B+C=π，∴A+C=
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
=sinA+sin
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| π |
| 6 |
∵0＜A＜
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
∴
| ||
| 2 |
| 3 |
故sinA+sinC的取值范围是(
| ||
| 2 |
| 3 |
点评：本题考查正弦定理以及两角和与差的三角函数，考查计算能力．
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