Question

已知△ABC的内角A，满足coa2A-

2

cosA+1≤0．
（1）求A的取值范围；
（2）求函数f（A）=λ（sinA+cosA）+sinAcosA的最小值．

Answer 1

考点：三角函数的最值,二倍角的余弦

专题：三角函数的求值

分析：（1）△ABC中，由条件求得 0≤cosA≤

2

2

，可得A的范围．
（2）设sinA+cosA=t，则 sinAcosA=

t2-1

2

，所以原函数化为y=

t2

2

+λt-

1

2

，它的对称轴t=-λ．再根据t的范围（用区间表示），分类讨论对称轴与区间的关系，求出函数的最小值．

解答： 解：（1）△ABC中，由coa2A-

2

cosA+1≤0，得 2cos²A-

2

cosA≤0，求得 0≤cosA≤

2

2

，∴A∈[

π

4

，

π

2

]．
（2）设sinA+cosA=t，则 sinAcosA=

t2-1

2

，
所以原函数化为y=

t2

2

+λt-

1

2

，它的对称轴t=-λ．
又t=

2

sin（A+

π

4

），由 A∈[

π

4

，

π

2

]可得 A+

π

4

∈[

π

2

，

3π

4

]，∴t∈[1，

2

]．
当-λ＜1，即λ＞-1时，y_min=λ．
当1≤-λ≤

2

，即-

2

≤λ≤-1时，y_min=-

λ2+1

2

．
当-λ＞

2

，即λ＞-

2

时，y_min=

1

2

+

2

λ．

点评：本题主要考查二倍角的余弦公式，正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于基础题．