Question

设函数f（x）=cos（2x+

π

3

）+

3

sin2x+2a
（1）求函数f（x）的单调递增区间
（2）当0≤x≤

π

4

时，f（x）的最小值为0，求a的值．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）化简可得f （x）=sin（2x+

π

6

）+2a．由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

解不等式可得；
（Ⅱ）由0≤x≤

π

4

，可得

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，进而可得

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，结合已知条件可解a

解答： 解：（Ⅰ）化简可得f （x）=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+

3

sin2x+2a
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+2a=sin（2x+

π

6

）+2a．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z）．
∴f （x）的单调递增区间为：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．
（Ⅱ）∵0≤x≤

π

4

，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，
∴

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1．
由f （x）的最小值为0得

1

2

+2a=0．
解得a=-

1

4

．

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的单调性，属基础题．