Question

如图，四棱锥E-ABCD，底面ABCD是矩形，平面EDC⊥底面ABCD，ED=EC=BC=4，CF⊥平面BDE，且点F在EB上．
（Ⅰ）求证：DE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求三棱锥A-BDE的体积；
（Ⅲ）设点M在线段DC上，且满足DM=2CM，试在线段EB上确定一点N，使得MN∥平面ADE．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）证明DE⊥平面BCE，只需证明DE⊥BC，ED⊥CF；
（Ⅱ）过点E作EH⊥DC，利用V_A-BDE=V_E-ABD，即可求三棱锥A-BDE的体积；
（Ⅲ）过M作MG∥DE交CE于G，过G作GN∥BC交EB于N，连接MN，证明MN∥平面ADE，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）证明：∵ABCD是矩形，
∴BC⊥DC，
∵平面EDC⊥底面ABCD，平面EDC∩底面ABCD=DC，BC⊥DC，
∴BC⊥平面EDC，
∴DE⊥BC，
∵CF⊥平面BDE，
∴ED⊥CF，
∵BC∩CF=C，DE⊥BC，ED⊥CF，
∴DE⊥平面BCE；
（Ⅱ）解：过点E作EH⊥DC，
∵平面EDC⊥底面ABCD，平面EDC∩底面ABCD=DC，
∴EH⊥底面ABCD，
∵ED=EC=4，DE⊥CE，
∴DC=4

2

，
∴EH=2

2

，
∴三棱锥A-BDE的体积V_A-BDE=V_E-ABD=

1

3

×

1

2

×4×4

2

×2

2

=

32

3

；
（Ⅲ）过M作MG∥DE交CE于G，过G作GN∥BC交EB于N，连接MN，则
∵GN∥BC，BC∥AD，
∴GN∥AD，
∴MG∥DE，NG∩MG=G，AD∩DE=D，
∴平面MGN∥平面ADE，
∵MN?平面MGN，
∴MN∥平面ADE，
∴线段EB上存在点N，当BN=

1

3

BE时，使得MN∥平面ADE．

点评：本题考查平面与平面垂直性质的运用，考查三棱锥A-BDE的体积，考查线面平行，考查学生分析解决问题的能力，比较综合．