Question

在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acosC+

1

2

c=b．
（1）求角A的大小；
（2）当a=1时，求b²+c²的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，整理课求得cosA的值，则A可得．
（2）利用余弦定理求得b²+c²和bc的关系，进而根据正弦定理分别表示出b和c，求得bc的表达式，根据B的范围求得bc的范围，则b²+c²的范围可得．

解答： 解：（1）∵acosC+

1

2

c=b．
∴sinAcosC+

1

2

sinC=sinB，
∵sinB=som[π-A-C]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴

1

2

sinC=cosAsinC，
∵sinC＞0，
∴cosA=

1

2

，又0＜A＜π，
∴A=

π

3

、
（2）∵a=1，cosA=

1

2

，
b²+c²=1+bc，
由正弦定理知

b

sinB

=

c

sinC

=

a

sinA

=

2

3

，
bc=

2

3

sinB•

3

2

sinC=

4

3

sinBsin（B+

π

3

）=

4

3

sinB（sinB•

1

2

+

3

2

cosB）=

2

3

sin2B+

2 3

3

sinBcosB=

1

3

（1-cos2B+

3

sin2B）=

1

3

[1+sin（2B-

π

6

）]
又锐角三角形可知

0＜B＜ π 2 0＜C= 2π 3 -B＜ π 2

，

5π

6

＜B＜

π

2

，
∴

π

6

＜2B-

π

6

＜

5π

6

，
∴sin（2B-

π

6

）∈（

1

2

，1]，
∴b²+c²∈（

5

3

，2]．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理和余弦定理的应用．解三角形问题往往结合三角函数常用知识来解决．