Question

12．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，且经过点（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P（0，2）且斜率是-$\sqrt{2}$的直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB（O为原点）的面积．

Answer 1

分析 （1）运用离心率公式和椭圆基本量a，b，c的关系，以及点（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）直线AB的方程为y=-$\sqrt{2}$x+2，将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去y，可得x的二次方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用韦达定理，由S_△AOB=|S_△POB-S_△POA|=$\frac{1}{2}$×2×|x₁-x₂|=|x₁-x₂|，由配方即可得到所求值．

解答 解：（1）由e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
得$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，①
由椭圆C经过点（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），得$\frac{9}{4{a}^{2}}$+$\frac{1}{4{b}^{2}}$=1，②
联立①②，解得b=1，a=$\sqrt{3}$，
所以椭圆C的方程是$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）直线AB的方程为y=-$\sqrt{2}$x+2，
将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，
消去y得7x²-12$\sqrt{2}$x+9=0，
满足△=144×2-4×7×9＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，x₁x₂=$\frac{9}{7}$，
所以S_△AOB=|S_△POB-S_△POA|=$\frac{1}{2}$×2×|x₁-x₂|=|x₁-x₂|，
因为（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（$\frac{12\sqrt{2}}{7}$）²-4×$\frac{9}{7}$=$\frac{36}{49}$，
所以S_△AOB=|x₁-x₂|=$\frac{6}{7}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，考查三角形的面积的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和三角形的面积公式，考查运算能力，属于中档题．