Question

3．已知P为抛物线C：x²=2y上异于坐标原点的动点，直线l与抛物线C切于点P，交x轴于Q，交y轴于R，则$\frac{|PQ|}{|PR|}$的值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 求出y=$\frac{1}{2}$x²的导数，设P（m，$\frac{1}{2}$m²），可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程，分别令x=0，y=0可得Q，R的坐标，再由两点的距离公式计算即可得到所求值．

解答 解：抛物线C：x²=2y即y=$\frac{1}{2}$x²，
由y=$\frac{1}{2}$x²的导数为y′=x，
设P（m，$\frac{1}{2}$m²），可得切线l的斜率为m，
可得切线l的方程为y-$\frac{1}{2}$m²=m（x-m），
令x=0，可得y=-$\frac{1}{2}$m²，即R（0，-$\frac{1}{2}$m²），
令y=0，可得x=$\frac{1}{2}$m，即Q（$\frac{1}{2}$m，0），
则$\frac{|PQ|}{|PR|}$=$\frac{\sqrt{\frac{1}{4}{m}^{2}+\frac{1}{4}{m}^{4}}}{\sqrt{{m}^{2}+{m}^{4}}}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查抛物线的切线方程的求法，注意运用导数的几何意义，以及点斜式方程，考查两点的距离公式，运算求解能力，属于中档题．